循序渐进 层层深入
——以竖直面内的圆周运动为例谈优生能力培养策略
简伟伟
（江西省横峰中学 江西 上饶 334300）
摘要 优生培养是一个循序渐进的过程，教学中既要保证优生掌握高考所要求的知识结构，同时又要层层深入、循循善诱，逐步提高其思维的深度，引导学生养成深入思考的习惯，练就解决复杂问题的能力。
关键词 优生培养 高中物理 圆周运动
很多学校为了做到因材施教、高效教学，将学习能力不同的学生分为不同的班级，有针对性进行教学。基于这种意图下分出来的学习能力强的班级（奥赛班、零班），如何采取高效教学，让这些学生在掌握高考要求的知识能力的基础上，最大限度提升自己，能够保证高考正常发挥的基础上，有能力参加各级各类竞赛及高校自主招生，是很多从事该类班级教学的老师十分重视的一个问题，也是很多学校积极探究的一项课题。笔者从多年的教学实践中，总结出“循序渐进，层层深入”的优生培养策略，现以“竖直面内的圆周运动”为例，和同行交流，以抛砖引玉。
例1：如图1所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，圆轨道半径为R，在轨道的最低点处有一质量为m的小球（可看成质点），现给小球一水平向右的初速度V0，重力加速度为g。
(1) 若 ，求小球在轨道最高点B时，对轨道的压力？
(2) 若小球要在圆轨道上做完整的圆周运动，则V0应满足什么条件?
(3) 若小球要在圆轨道上运动过程中不脱离圆轨道，则V0应满足什么条件?
(4) 若 ，求小球在运动过程中所能达到的最大高度？
解：（1）对小球从A到B的过程中由动能定理得：
A
B
V0
O
图1
在B点由牛顿第二定律得：
再由牛顿第三定律得：
联立以上三式解得： （2）启迪思维：若要小球在圆轨道上做完整的圆周运动，则小球既不能做离心运动，也不能做近心运动。因为题中未讲圆轨道所承受的最大压力，说明该题不用考虑圆轨道因所承受的压力过大而断裂，出现小球做离心运动的情况。如图2所示，但是由于重力向圆心方向的分力的效果，当小球运动到R以上的高度时，会由于小球速度太小而使小球做近心运动。以C点为例当F提供的向心力 >F需要的向心力时，刚好脱离轨道时轨道对小球弹力为零，即当 时，小球在C点即会因做近心运动而脱离轨道[1]。小球若再从C点向上走由于θ越小 越大，且由机械能能量守恒定律得小球的速度会越小。即越向上运动越容易使得F提供的向心力>F需要的向心力，所以B点是小球最易脱离轨道的位置，要使得小球做完整的圆周运动，就一定要使得小球通过B点。
解：临界情况为小球恰好通过B点，设通过B点的最小速度为VB0，由圆周运动的向心力关系得：
图2
对小球从A到B的过程中由动能定理得：
解得：
可得要小球在圆轨道上做完整的圆周运动则应满足
（3）启迪思维：若小球要在圆轨道上运动过程中不脱离圆轨道，上述第2问当小球在圆轨道上做完整的圆周运动时，是满足条件的一种情况。还有一种情况我们要引起注意当小球最高只能运动到R以下的高度时，如图3中的D位置，因为小球重力的法向分力使得小球紧压圆轨道，圆轨道必定会对其产生弹力N，因此这种情况下N>0，可知小球也是不会脱离圆轨道的，而是在DE之间永远来回运动下去。
图3
解：假设小球恰能运动到高度为R的F点
对小球从A到F的过程中由动能定理得：
解得：
可得当 时小球在圆轨道上来回摆动而不脱离轨道。
综上：若小球要在圆轨道上运动过程中不脱离圆轨道有以下两种情况：
或 （4）启迪思维：由上面的分析可知因为 ，其未满足第3问的条件，则该种情况下小球会运动到某一高度而开始脱离轨道做近心运动。
解：设小球恰好能到达图4中的C点位置此时小球满足以下方程：
图4
解得： 可得C点距离A点的高度为 此时可以让同学们思考上面的H，是否是题目所求的结果，并引导同学们再次认真审题和进一步思考（从C点脱离轨道后的运动），经引导提示后一部分同学便会想到：如图5所示，小球从C点脱离轨道后做斜抛，小球还会继续上升，斜抛运动的最高点D才是题目中的所求点[2]
图5
（方向沿着该点的切线方向）
由斜抛运动的规律得小球脱离圆轨道后还能上升的高度
所以小球在运动过程中所能达到的最大高度
例2：如图6所示，半径为R的光滑半球被固定在水平地面上，质量为m的小滑块（可看成质点），从半球的顶点A以水平向右的初速度V0开始运动，重力加速度为g。
（1） 若 ，求小滑块落地点距球心O的水平距离？
（2） 若 ，小滑块受轻微扰动开始下滑，试分析小滑块与半球的分离点距水平地面的高度？
（3） 若 且让半球以加速度 向右做匀加速直线运动，试分析小滑块与半球的分离点距水平地面的高度？
V0
O
A
图6
（1） 启迪思维：提示学生分析当 时小球是立即从A点飞出，还是沿圆轨道下滑一段再飞出。
解：若小球恰好从A点飞出则在A点轨道对其弹力为零，在A点由牛顿运动定律可得：
解得 即当 时小球就会从A点立即飞出，可知当 时小球是立即从A点飞出而做平抛运动。由平抛运动规律可得：
解得： 所以可得小球落地点距离球心O的水平距离 （2） 启迪思维：若 ，小滑块受轻微扰动开始下滑，小球与轨道分离点的位置所对应的特点？
解：如图7所示，假设小球恰好运动到B点脱离轨道，则在B点轨道对小球的弹力为零，
图7
在B点由牛顿运动定律得： 由机械能守恒定律得： 联立解得： 可得B点距离水平面的高度 （3） 启迪思维：提示学生分析当 时且让半球以加速度 向右做匀加速直线运动，小球与轨道分离点的位置所对应的特点和上一问是否相同？运动情景与上一问有什么不同点？
小球和轨道的分离点的特点和前面分析相同既轨道给小球的弹力为零，若该题以地面为参考系运动情况较为复杂。此时我们可以考虑加上惯性力以半圆轨道为参考系，这样小球相对于半圆轨道还是做圆周运动，这样情况就好分析多了。
解：如图8所示，以半球面为参考系，小滑块相对该参考系做圆周运动
（方向水平向左）
假设小滑块运动到如图6所示的C点刚好脱离圆轨道，由牛顿第二定律可得：
图8
由非惯性中运用动能定理得：
解得: 或 所以可得小球和板球面脱离时距离水平地面的高度 ， 由于当小滑块运动到 时，小滑块就和半球面分离，所以 （舍去）
综上：滑块与半球的分离点距水平地面的高度为 .
优生培养是一个循序渐进的过程，我们在教学过程中既要保证优生要掌握高考所要求的知识结构，同时又要层层深入、循循善诱，逐步提高其思维的深度，引导这些学生养成深入思考问题的习惯，练就他们解决更为复杂问题的能力，以达到由高考要求逐步向自主招生及奥林匹克竞赛要求顺畅过渡的目标。以上笔者就高考及竞赛中都经常遇到的一类典型问题——竖直面内的圆周运动为例，阐述如何在我们实际教学中运用“循序渐进，层层深入”的优生培养策略，希望和同行们共同交流。
参考文献
1. 董海燕.什么地方最易脱轨[J].中学物理，2008，7:57-58
2. 杨榕楠.更高更妙的物理[M].浙江：浙江大学出版社，2015:77-81 |
